李雅普诺夫第二方法判断稳定性（李雅普诺夫）

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本文目录一览：

• 1、李雅普诺夫稳定性的简介
• 2、李雅普诺夫稳定性
• 3、李雅普诺夫指数的定义
• 4、李雅普诺夫第二法中的V(x)是怎么选择的?
• 5、李雅普诺夫的学术成就
• 6、李雅普诺夫的人物简介

李雅普诺夫稳定性的简介

俄国数学家和力学家A.M.李雅普诺夫在1892年所创立的用于分析系统稳定性的理论。对于控制系统，稳定性是需要研究的一个基本问题。在研究线性定常系统时，已有许多判据如代数稳定判据、奈奎斯特稳定判据等可用来判定系统的稳定性。李雅普诺夫稳定性理论能同时适用于分析线性系统和非线性系统、定常系统和时变系统的稳定性，是更为一般的稳定性分析方法。李雅普诺夫稳定性理论主要指李雅普诺夫第二方法，又称李雅普诺夫直接法。李雅普诺夫第二方法可用于任意阶的系统，运用这一方法可以不必求解系统状态方程而直接判定稳定性。对非线性系统和时变系统，状态方程的求解常常是很困难的，因此李雅普诺夫第二方法就显示出很大的优越性。与第二方法相对应的是李雅普诺夫第一方法，又称李雅普诺夫间接法，它是通过研究非线性系统的线性化状态方程的特征值的分布来判定系统稳定性的。第一方法的影响远不及第二方法。在现代控制理论中，李雅普诺夫第二方法是研究稳定性的主要方法，既是研究控制系统理论问题的一种基本工具，又是分析具体控制系统稳定性的一种常用方法。李雅普诺夫第二方法的局限性，是运用时需要有相当的经验和技巧，而且所给出的结论只是系统为稳定或不稳定的充分条件；但在用其他方法无效时，这种方法还能解决一些非线性系统的稳定性问题。现在，随着计算机技术的发展，借助数字计算机不仅可以找到所需要的李雅普诺夫函数，而且还能确定系统的稳定区域。但是想要找到一套对于任何系统都普遍使用的方法仍很困难。

李雅普诺夫稳定性

简介 俄国数学家和力学家A.M.李雅普诺夫在1892年所创立的用于分析系统稳定性的理论。对于控制系统，稳定性是需要研究的一个基本问题。在研究线性定常系统时，已有许多判据如代数稳定判据、奈奎斯特稳定判据等可用来判定系统的稳定性。李雅普诺夫稳定性理论能同时适用于分析线性系统和非线性系统、定常系统和时变系统的稳定性，是更为一般的稳定性分析方法。李雅普诺夫稳定性理论主要指李雅普诺夫第二方法，又称李雅普诺夫直接法。李雅普诺夫第二方法可用于任意阶的系统，运用这一方法可以不必求解系统状态方程而直接判定稳定性。对非线性系统和时变系统，状态方程的求解常常是很困难的，因此李雅普诺夫第二方法就显示出很大的优越性。与第二方法相对应的是李雅普诺夫第一方法，又称李雅普诺夫间接法，它是通过研究非线性系统的线性化状态方程的特征值的分布来判定系统稳定性的。第一方法的影响远不及第二方法。在现代控制理论中，李雅普诺夫第二方法是研究稳定性的主要方法，既是研究控制系统理论问题的一种基本工具，又是分析具体控制系统稳定性的一种常用方法。李雅普诺夫第二方法的局限性，是运用时需要有相当的经验和技巧，而且所给出的结论只是系统为稳定或不稳定的充分条件；但在用其他方法无效时，这种方法还能解决一些非线性系统的稳定性问题。现在，随着计算机技术的发展，借助数字计算机不仅可以找到所需要的李雅普诺夫函数，而且还能确定系统的稳定区域。但是想要找到一套对于任何系统都普遍使用的方法仍很困难。 从上面的这段文字里可以看出，所谓任意函数指的是在一定范围的稳定区域内任选的，并不是所有函数都可以判断为系统稳定的。

李雅普诺夫指数的定义

考虑两个系统

设其初始值微小误差为

经过一次迭代后有

其中

第二次迭代得到

········

经过第n次迭代得

可见，两个系统对初始扰动的敏感度由导数|df/dx|在x0处的值决定，它与初始值x0有关。映射整体对初值敏感性需对全部初始条件平均，要进行n次迭代：

每次迭代平均分离值为

两个系统如果初始存在微小的差异，随着时间（或迭代次数）产生分离，分离程度常用李雅普诺夫（Lyapunov）指数来度量，它为几何平均值的对数

式中xn为第n次迭代值。令n趋于无穷，得到李雅普诺夫指数的计算公式：

李雅普诺夫第二法中的V(x)是怎么选择的?

李雅普诺夫第二法中的V(x)选择：考虑一个函数V(x):R→R使得 只有在处等号成立（正定函数） （负定） 则V(x)称为李雅普诺夫候选函数（Lyapunov function candidate），且系统（依李雅普诺夫的观点）为渐近稳定。

A，B是t的函数，都是列向量，P是相应维数的常数矩阵。(A'PB)求导=A'[(PB)求导]+(PB)'(A''求导)=A'PB导数+B'P'A导数。带入Lyapunov函数状态X，就是(X'PX)求导=X'PX导数+X'P'X导数=X'(P+P')X导数。

它们的直观几何意义是：

平衡点为李雅普诺夫稳定的，表示若动力系统状态函数（微分方程的解函数）的初值“足够接近”平衡点，则它会永远维持在平衡点附近任意小的范围里。渐近稳定的意思是，初值足够接近平衡点的状态函数，不但维持在平衡点附近，而且最后会收敛到平衡点。

李雅普诺夫的学术成就

切比雪夫创立的彼得堡学派的杰出代表

李雅普诺夫是切比雪夫创立的圣彼得堡学派的杰出代表，他的建树涉及到多个领域，尤以概率论、微分方程和数学物理最有名.

创立了特征函数法

在概率论中，他创立了特征函数法，实现了概率论极限定理在研究方法上的突破，这个方法的特点在于能保留随机变量分布规律的全部信息，提供了特征函数的收敛性质与分布函数的收敛性质之间的一一对应关系，给出了比切比雪夫、马尔可夫关于中心极限定理更简单而严密的证明，他还利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布.他对概率论的建树主要发表在其1900年的《概率论的一个定理》和1901年的《概率论极限定理的新形式》论文中.他的方法已在现代概率论中得到广泛的应用。这方面工作后来由A．A．马尔科夫继承。

常微分方程运动稳定性理论的创始人

李雅普诺夫是力学中运动稳定性理论奠基人之一。运动稳定性问题在19世纪下半叶已有许多学者进行研究并得出一些成果，如著名物理学家J·C．麦克斯韦(1868)分析蒸汽机调速器和钟表机构稳定性的论文《论调节器》，E．J．劳思(1830～1907)的专著《已知运动状态的稳定性》(1877)，H．E．儒科夫斯基的《论运动的持久性》(1882)等。李雅普诺夫和法国H．庞加莱各自从不同角度研究了运动稳定性理论中的一般性问题。李雅普诺夫采用的是纯数学分析方法，庞加莱则侧重于用几何、拓扑方法。李雅普诺夫1884年完成了《论一个旋转液体平衡之椭球面形状的稳定性》一文，1888年，他发表了《关于具有有限个自由度的力学系统的稳定性》，特别是他1892年的博士论文《运动稳定性的一般问题》是经典名著。文中对已知运动状态的稳定性给出严格的数学定义，提出两套分析方法：第一套适用于运动状态为已知的情形，第二套则完全是定性的，只要求知道运动的微分方程。后一套方法在20世纪被广泛用于分析力学系统和自动控制系统，在其中开创性地提出求解非线性常微分方程的李雅普诺夫函数法，亦称直接法，它把解的稳定性与否同具有特殊性质的函数（现称为李雅普诺夫函数）的存在性联系起来，这个函数沿着轨线关于时间的导数具有某些确定的性质.正是由于这个方法的明显的几何直观和简明的分析技巧，所以易于为实际和理论工作者所掌握，从而在科学技术的许多领域中得到广泛地应用和发展，并奠定了常微分方程稳定性理论的基础，也是常微分方程定性理论的重要手段。

旋转流体的平衡形状及其稳定性

李雅普诺夫还研究过旋转流体的平衡形状及其稳定性。这一问题同天体起源理论有关。庞加莱曾提出平衡形状有可能从一个椭球体派生(称为分岔)出一个梨形体。里雅普诺夫则指出这种梨形形状是不稳定的，他的研究结果后来为J．琼斯在1917年所证实。

为数学物理方法的发展开辟了新的途径

李雅普诺夫对位势理论的研究为数学物理方法的发展开辟了新的途径.他1898年发表的论文《关于狄利克雷问题的某些研究》也是一篇重要论文.该文首次对单层位势、双层位势的若干基本性质进行了严谨的探讨，指出了给定范围内的本问题有解的若干充要条件.他的研究成果奠定了解边值问题经典方法的基础。

李雅普诺夫的人物简介

李雅普诺夫(Алекса́ндрМиха́йловичЛяпуно́в,1857-1918)俄国数学家、力学家。1857年6月6日生于雅罗斯拉夫尔；1918年11月3日卒于敖德萨。1876年中学毕业时，因成绩优秀获金质奖章，同年考入圣彼得堡大学物理数学系学习，被著名数学家切比雪夫渊博的学识深深吸引，从而转到切比雪夫所在的数学系学习，在切比雪夫、佐洛塔廖夫的影响下，他在大学四年级时就写出具有创见的论文，而获得金质奖章。1880年大学毕业后留校工作，1892年获博士学位并成为教授。1893年起任哈尔科夫大学教授，1901年初当选为圣彼得堡科学院通讯院士，年底当选为院士。1909年当选为意大利国立琴科学院外籍院士，1916年当选为巴黎科学院外籍院士。

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